towertanのブログ

私大医学部入試の数学の問題をひたすら解いていきます.

大阪医科薬科大・2022年後期第1問

不等式を証明する問題です.$f(x)\leqq g(x)$を示すには,$g(x)-f(x)\geqq 0$を示せばよいということを使いましょう.

(1)の解答

$f(x)=\log(x+1)-x+\dfrac{x^2}2\ (x>-1)$とおいて,$x\geqq 0$では$f(x)\geqq 0$であることを示します.

$f'(x)=\dfrac 1{x+1}-1+x=\dfrac{x^2}{x+1}\geqq 0$であり,$f(0)=0$であるから,$x\geqq 0$では$f(x)\geqq 0$です.これで示すことができました.

(2)の解答

示すべき不等式で,自然対数をとると

$$x\leqq \log(1+x)+\dfrac{x^2}2\leqq x+\dfrac{x^3}3$$

となります.左側の不等式は(1)そのものです.右側の不等式を示すことに注力します.

$g(x)=x+\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^2}2-\log(1+x)\ (x>-1)$とおくと,$g'(x)=1+x^2-x-\dfrac 1{1+x}=\dfrac{x^3}{1+x}$となり,$x\geqq 0$では$g'(x)\geqq 0$を満たします.

ここで$g(0)=0$であるので,$x\geqq 0$では$g(x)\geqq 0$が成り立ちます.

$x\geqq 0$では$f(x)\geqq 0,~g(x)\geqq 0$なので,

$$x\leqq \log(1+x)+\dfrac{x^2}2\leqq x+\dfrac{x^3}3$$

が成り立ちます.したがって,

$$e^x\leqq e^{\log(1+x)+\frac{x^2}2}\leqq e^{x+\frac{x^3}3}$$

なので,示すべき不等式が得られました.